(Ⅰ)证明:∵an,an+1是关于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的两实根, ∴…(2分) ∵===-1. 故数列{an-×2n}是首项为a1-=,公比为-1的等比数列.…(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得an-×2n=×(-1)n-1,即an=[2n-(-1)n] ∴Sn=a1+a2+…+an=(2+22+23+…+2n)-[(-1)+(-1)2+…+(-1)n] =[2n+1-2-].…(8分) 因此,bn=an•an+1=[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=[22n+1-(-2-1] 要使bn>λSn,对∀n∈N*都成立, 即[22n+1-(-2)n-1]-[2n+1-2-]>0,(n∈N*)(*) …(10分) ①当n为正奇数时,由(*)式得:[22n+1+2n-1]-(2n+1-1)>0 即(2n+1-1)(2n+1)-(2n+1-1)>0, ∵2n+1-1>0,∴λ<(2n+1)对任意正奇数n都成立, 因为(2n+1)(n为奇数)的最小值为1.所以λ<1.…(12分) ②当n为正偶数时,由(*)式得:(22n+1-2n-1)-(2n+1-2)>0,即(2n+1+1)(2n-1)-(2n-1)>0 ∵2n-1>0,∴λ<(2n+1+1)对任意正偶数n都成立, ∵(2n+1+1)(n为偶数)的最小值为,∴λ<. ∴存在常数λ,使得bn>λSn对∀n∈N*都成立时λ的取值范围为(-∞,1).…(14分) |