已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an+n,且bn=an-1anan+1.(1)求证:{an-1}为等比数列;(2)求数列{bn}的前n项和.
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已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an+n,且bn=an-1anan+1.(1)求证:{an-1}为等比数列;(2)求数列{bn}的前n项和.
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若
S
n
=2
a
n
+n,且
b
n
=
a
n
-1
a
n
a
n+1
.
(1)求证:{a
n
-1}为等比数列;
(2)求数列{b
n
}的前n项和.
答案
(1)由题意可得:当n≥2时,由 a
n
=S
n
-S
n-1
=2a
n
+n-(2a
n-1
+n-1),可得 a
n
=2a
n-1
-1,…(2分)
∴a
n+1
-1=2(a
n-1
-1).…(4分)
又因为S
1
=2a
1
+1,所以a
1
=-1,a
1
-1=-2≠0,
∴{a
n
-1}是以-2为首项,2为公比的等比数列.…(7分)
(2)由(1)知,
a
n
-1=-2×
2
n-1
=-
2
n
,即
a
n
=-
2
n
+1
,…(9分)
∴
b
n
=
-
2
n
(1-
2
n
)(1-
2
n+1
)
=
1
2
n+1
-1
-
1
2
n
-1
,(11分)
故
T
n
=-[(
1
2-1
-
1
2
2
-1
)+(
1
2
2
-1
-
1
2
3
-1
)+…+(
1
2
n
-1
-
1
2
n+1
-1
)]=
1
2
n+1
-1
-1
.(14分)
举一反三
设S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和,a
6
=8a
3
,则
S
6
S
3
=______.
题型:不详
难度:
|
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等比数列{a
n
}中,a
3
=2,a
7
=8 则a
5
=( )
A.±4
B.4
C.6
D.-4
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
},{c
n
}满足条件:a
1
=1,a
n+1
=2a
n
+1,
c
n
=
1
(2n+1)(2n+3)
.
(1)若b
n
=a
n
+1,并求数列{b
n
}的通项公式;
(2)数列{c
n
}的前n项和T
n
,求数列{(2n+3)T
n
•b
n
}前n项和Q
n
.
题型:不详
难度:
|
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等比数列{a
n
}中,a
3
,a
9
是方程3x
2
-11x+9=0的两个根,则a
6
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y
2
=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点,且直线l与x交于点C.
(1)求证:|MA|,|MC|、|MB|成等比数列;
(2)设
MA
=α
AC
,
MB
=β
BC
,试问α+β是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
题型:合肥模拟
难度:
|
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