设数列{an}的前n项的和为Sn,满足Sn+an=n+3(n∈N*).(1)求证:存在常数c,使数列{an+c}是等比数列;(2)求an与Sn;(3)设Tn=S

设数列{an}的前n项的和为Sn,满足Sn+an=n+3(n∈N*).(1)求证:存在常数c,使数列{an+c}是等比数列;(2)求an与Sn;(3)设Tn=S

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设数列{an}的前n项的和为Sn,满足Sn+an=n+3(n∈N*).
(1)求证:存在常数c,使数列{an+c}是等比数列;
(2)求an与Sn
(3)设Tn=Sn-nan(n∈N*),求证:Tn+1>Tn
答案
(1)证明:Sn+an=n+3①;Sn-1+a n-1=n+2 ②
①式与②式相减,得 2an-an-1=1,经过变形,得
an-1
an-1-1
=
1
2

显然存在常数c=-1,使得数列{an-1}是等比数列,且公比q=
1
2

(2)当n=1,有s1+a1=2a1=1+3,可得a1=2,
由{an-1}是等比数列,公比q=0.5,当n>1时,可知an-1=(a1-1)qn-1化简,得an=0.5n-1+1
sn=n+3-an=n+2-q^(n-1)=n+2-0.5n-1
(3)证明:Tn+1=S n+1-(n+1)×an+1=sn-nan+1 由Tn=Sn-nan,两式相减,得Tn+1-Tn=n[an-an+1]③
由于n为N正,n>0,当n=1时,an=2,an+1=1,an-an+1>0,故③式右边大于0,故Tn+1>Tn
当n>1时,由前面得an-an+1=0.5an>0,故③式右边大于0,故Tn+1>Tn
得证
举一反三
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且点(Sn,Sn+1)在直线y=kx+1上
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求证:{an}是等比数列;
(Ⅲ)记Tn为数列{Sn}的前n项和,求T10的值.
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已知数列{an}中,a1=1,anan+1=(
1
3
)n,(n∈N*)

(1)求证:数列{a2n}与{a2n-1}(n∈N*)都是等比数列;
(2)求数列{an}前2n的和T2n
(3)若数列{an}前2n的和为T2n,不等式81T2n•a2n≤2(1-ka2n)对(n∈N*)恒成立,求k的最大值.
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设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2-a5=0,则
S4
S2
=______.
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设f1(x)=
2
1+x
,fn+1(x)=f1[fn(x)],且an=
fn(0)-1
fn(0)+2
,则a2013=(  )
A.(
1
2
)2012
B.(
1
2
)
2013
C.(
1
2
)
2014
D.(
1
2
)
2015
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已知数列{an}的前n项和为Sn满足:Sn=
a
a-1
(an-1)
(a为常数,且a≠0,a≠1)
(1)若a=2,求数列{an}的通项公式
(2)设bn=
2Sn
an
+1
,若数列{bn}为等比数列,求a的值.
(3)在满足条件(2)的情形下,设cn=
1
1+an
+
1
1-an+1
,数列{cn}前n项和为Tn,求证Tn>2n-
1
3
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