已知{an}是等比数列,公比q>1,前n项和为Sn,且S3a 2=72,a4=4,数列bn满足:abn2n+1=2,n=1,2,…(1)求数列{an},{bn}

已知{an}是等比数列,公比q>1,前n项和为Sn,且S3a 2=72,a4=4,数列bn满足:abn2n+1=2,n=1,2,…(1)求数列{an},{bn}

题型:安徽模拟难度:来源:
已知{an}是等比数列,公比q>1,前n项和为Sn,且
S3
a 2
=
7
2
a4=4,数列bn满足:
abn2n+1
=2,n=1,2,…

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数数{bnbn+1}的前n项和为Tn,求证
1
3
Tn
1
2
(n∈N*)
答案
(I)
S3
a2
=
a1+a1q+a1q2
a1q
=
1+q+q2
q
=
7
2

∴整理得2q2-5q+2=0,解之得q=2(舍
1
2

由此可得a1=
a4
q3
=
1
2
,得数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n-2
∴a2n+1=22n-1,结合a2n+1bn=2得bn=log a2n+12=
1
2n-1

可得{bn}的通项公式为bn=
1
2n-1

(II)根据(I)的结论,得
bnbn+1=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1

可得Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]=
1
2
(1-
1
2n+1

∵n∈N*,∴0<
1
2n+1
1
3
,得
2
3
≤1-
1
2n+1
<1
因此,Tn=
1
2
(1-
1
2n+1
)∈[
1
3
1
2
),
即不等式
1
3
Tn
1
2
(n∈N*)
成立.
举一反三
设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,______,______,
T16
T12
成等比数列.
题型:浙江难度:| 查看答案
已知{an} 为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(  )
A.7B.5C.-5D.-7
题型:黑龙江难度:| 查看答案
若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+
y2
m
=1
的离心率为(  )
A.


3
2
B.


5
C.


3
2


5
2
D.


3
2


5
题型:梅州一模难度:| 查看答案
定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上,其中n为正整数.
(1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列.
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式.
(3)记bn=log2an+1Tn,求数列{bn}的前n项之和Sn,并求使Sn>2011的n的最小值.
题型:石景山区一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)是一次函数,且f(8)=15f(2),f(5)f(14)成等比数列,设an=f(n),(n∈N*
(1)求Tn=a1+a2+a3+…+an.
(2)设bn=2n,求数列{anbn}的前n项和Sn
题型:不详难度:| 查看答案
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