定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图
题型:石景山区一模难度:来源:
定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上,其中n为正整数. (1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列. (2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式. (3)记bn=log2an+1Tn,求数列{bn}的前n项之和Sn,并求使Sn>2011的n的最小值. |
答案
(1)证明:由条件得:an+1=2an2+2an, ∴2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2, ∴{2an+1}是“平方递推数列”. …(4分) 由lg(2an+1+1)=2lg(2an+1), ∴=2, ∴{lg(2an+1)}为等比数列. …(6分) (2)∵lg(2a1+1)=lg5,∴lg(2an+1)=lg5•2n-1, ∴2an+1=52n-1 ∴an=(52n-1-1). …(8分) ∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)==(2n-1)lg5, ∴Tn=52n-1. …(10分) (3)bn====2-()n-1,…(12分) ∴Sn=2n-[1++()2+…+()n-1]=2n-=2n-2[1-()n] =2n-2+2()n. …(14分) 由Sn>2011,得2n-2+2()n>2011,n+()n>1006+, 当n≤1006时,n+()n<1006+,当n≥1007时,n+()n>1006+, 因此n的最小值为1007. …(16分) |
举一反三
已知函数f(x)是一次函数,且f(8)=15f(2),f(5)f(14)成等比数列,设an=f(n),(n∈N*) (1)求Tn=a1+a2+a3+…+an. (2)设bn=2n,求数列{anbn}的前n项和Sn. |
在等比数列{an}中,a2=,a3•a6=.设bn=log22•log22,为数列{bn}的前n项和. (Ⅰ)求an和Tn; (Ⅱ)若对任意的n∈N*,不等式λTn<n-2(-1)n恒成立,求实数λ的取值范围. |
等比数列{an}中,a1、a99为方程x2-10x+16=0的两根,则a20•a50•a80的值为( ) |
已知等比数列{an}的公比q<0,其前n项和为Sn,则a9S8与a8S9的大小关系是( )A.a9S8>a8S9 | B.a9S8<a8S9 | C.a9S8=a8S9 | D.a9S8与a8S9的大小关系与a1的值有关 |
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若数列{an}满足an=qn(q>0,n∈N*),以下命题正确的是( ) (1){a2n}是等比数列; (2){}是等比数列; (3){lgan}是等差数列; (4){lgan2}是等差数列.A.(1)(3) | B.(3)(4) | C.(1)(2)(3)(4) | D.(2)(3)(4) |
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