已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn,且满足:a2•a4=65,a1+a5=18.(1)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i
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已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn,且满足:a2•a4=65,a1+a5=18.(1)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i
题型:烟台一模
难度:
来源:
已知公差大于零的等差数列{a
n
}的前n项和S
n
,且满足:a
2
•a
4
=65,a
1
+a
5
=18.
(1)若1<i<21,a
1
,a
i
,a
21
是某等比数列的连续三项,求i的值;
(2)设
b
n
=
n
(2n+1)
S
n
,是否存在一个最小的常数m使得b
1
+b
2
+…+b
n
<m对于任意的正整数n均成立,若存在,求出常数m;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意,∵a
2
•a
4
=65,a
1
+a
5
=18.
∴(a
1
+d)(a
1
+3d)=65,a
1
+a
1
+4d=18.
∵d>0,∴d=4,a
1
=1
∴a
n
=4n-3,
∵a
1
,a
i
,a
21
是某等比数列的连续三项,
∴a
1
a
21
=
a
i
2
∴1•81=(4i-3)
2
∵1<i<21,∴i=3;
(2)由(1)可得
S
n
=n•1+
n(n-1)
2
•4=2
n
2
-n
∴
b
n
=
n
(2n+1)
S
n
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
∴b
1
+b
2
+…+b
n
=
1
2
(
1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
n
2n+1
=
1
2
-
1
2(2n+1)
<
1
2
∵b
1
+b
2
+…+b
n
<m对于任意的正整数n均成立,
∴
m=
1
2
举一反三
等比数列{a
n
}(n∈N
*
)中,若
a
2
=
1
16
,
a
5
=
1
2
,则a
12
=______.
题型:静安区一模
难度:
|
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已知各项均为正数的等比数列{a
n
}满足a
2
•a
4
=a
6
,
2
a
3
+
1
a
4
=
1
a
5
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(Ⅱ)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,前n项积为T
n
,求所有的正整数k,使得对任意的n∈N
*
,不等式S
n+K
+
T
n
4
<1
恒成立.
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难度:
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n
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n
=______.
题型:不详
难度:
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