已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2•a4=a6,2a3+1a4=1a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,前n项
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已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2•a4=a6,2a3+1a4=1a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,前n项
题型:不详
难度:
来源:
已知各项均为正数的等比数列{a
n
}满足a
2
•a
4
=a
6
,
2
a
3
+
1
a
4
=
1
a
5
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(Ⅱ)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,前n项积为T
n
,求所有的正整数k,使得对任意的n∈N
*
,不等式S
n+K
+
T
n
4
<1
恒成立.
答案
(Ⅰ) 设等比数列{a
n
}的首项为a
1
>0,公比为q>0,
∵a
2
•a
4
=a
6
,
2
a
3
+
1
a
4
=
1
a
5
,
∴
a
1
q•
a
1
q
3
=
a
1
q
5
2
a
1
q
2
+
1
a
1
q
3
=
1
a
1
q
4
,
解得
a
1
=q=
1
2
,
∴
a
n
=
1
2
n
.
(Ⅱ)∵
a
n
=
1
2
n
,
∴
S
n
=
1
2
+
1
2
2
+…+
1
2
n
=
1
2
×(1-
1
2
n
)
1-
1
2
=
1-
1
2
n
,
T
n
=
1
2
×
1
2
2
×…×
1
2
n
=
(
1
2
)
n(n+1)
2
,
若存在正整数k,使得不等式
S
n+k
+
T
n
4
<1
对任意的n∈N
*
都成立,
则
1-
1
2
n+k
+
(
1
2
)
n(n+1)
2
+2
<1,即
k<
1
2
[(n-
1
2
)
2
+
15
4
]
,
∵只有当n=1时,
1
2
[(n-
1
2
)
2
+
15
4
]
取得最小值2,满足题意.
∴k<2,正整数k只有取k=1.
举一反三
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题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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在等比数列{a
n
}中,若公比q=4,前3项的和等于21,则该数列的通项公式a
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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“远望巍巍塔七层,红灯向下成倍增,共灯三百八十一,试问塔顶几盏灯?”答曰:______盏.
题型:不详
难度:
|
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在各项均为正数的等比数列{a
n
}中,若a
2
=2,则a
1
+2a
3
的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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