已知数列满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和；(3)设，数列的前项和为，求证：(其中).

题型：不详难度：来源：

已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，数列的前项和为，求证：(其中).

答案

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

解析

试题分析：（1）首先由求出，然后时，构造函数，即可证明在条件下数列是等比数列，将时的值代入也符合，即证；（2）先由（1）得到，然后写出的通项公式，根据等比数列前项和公式求出；（3）求出数列的通项公式，再由累加法求其前项和为，再判断与的关系.
试题解析：（1）证明：由，得，
当时，，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，
时，也符合，所以数列是等比数列；    .5分
（2），由（I）得，所以.
所以，
数列的前n项和

.                      10分
（3）证明：
 
所以，数列的前n项和为


因为当时，，所以                    14分项和；4、累加法求数列的前项和.