设数列{an}是有穷等差数列,给出下面数表:a1 a2a3 …an-1 an第1行a1+a2 a2+a3 …an-1+an 第2行………第n行上表共有n行,其
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设数列{an}是有穷等差数列,给出下面数表:a1 a2a3 …an-1 an第1行a1+a2 a2+a3 …an-1+an 第2行………第n行上表共有n行,其
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}是有穷等差数列,给出下面数表:
a
1
a
2
a
3
…a
n-1
a
n
第1行
a
1
+a
2
a
2
+a
3
…a
n-1
+a
n
第2行
…
…
…第n行
上表共有n行,其中第1行的n个数为a
1
,a
2
,a
3
…a
n
,从第二行起,每行中的每一个数都等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为b
1
,b
2
,b
3
…b
n
.
(1)求证:数列b
1
,b
2
,b
3
…b
n
成等比数列;
(2)若a
k
=2k-1(k=1,2,…,n),求和
n
k=1
a
k
b
k
.
答案
(1)证明:由题设易知,
b
1
=
n(
a
1
+
a
n
)
2n
=
a
1
+
a
n
2
,
b
2
=
(n-1)(
a
1
+
a
2
+…+
a
n
)
2(n-1)
=
a
1
+
a
2
+…+
a
n
2
=
a
1
+
a
n
.
设表中的第k(1≤k≤n-1)行的数为c
1
,c
2
…c
n-k+1
,显然c
1
,c
2
…c
n-k+1
,成等差数列,则它的第k+1行的数是c
1
+c
2
,c
2
+c
3
…c
n-k
+c
n-k+1
也成等差数列,它们的平均数分别是
b
k
=
c
1
+
c
n-k+1
2
,b
k+1
=c
1
+c
n-k+1
,于是
b
k+1
b
k
=2
(1≤k≤n-1,k∈N
*
).
故数列b
1
,b
2
…b
n
是公比为2的等比数列.(7分)
(2)由(1)知,
b
k
=
b
1
•
2
k-1
=
a
1
+
a
2
2
•
2
k-1
,
故当a
k
=2k-1时,
b
k
=n•
2
k-1
,
a
k
b
k
=n(2k-1)•
2
k-1
.
于是
n
k=1
a
k
b
k
n
n
k=1
(2k-1)•
2
k-1
. (9分)
设
S=
n
k=1
(2k-1)•
2
k-1
,
则S=1•2
0
+3•2
1
+5•2
2
+…+(2n-1)•2
n-1
①
2S=1•2+3×2
2
+…+(2n-3)•2
n-1
+(2n-1)•2
n
②
①-②得,-S=1×2
0
+2(2+2
2
+…+2
n-1
)-(2n-1)•2
n
,
化简得,S=(2n-1)•2
n
-2
n+1
+3,
故
n
k=′1
a
k
b
k
=n(2n-1)•2n-n•2
n+1
+3n.(14分)
举一反三
数列{a
n
}的通项公式为
a
n
=(-1
)
n-1
(4n-3)
,则S
100
等于______.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}是等差数列,S
n
是前n项和,a
4
=3,S
5
=25
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
.
(2)设b
n
=|a
n
|,求b
1
+b
2
+…+b
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=(
1
3
)
x
,等比数列{a
n
}的前n项和为f(n)-c,正项数列{b
n
}的首项为c,且前n项和S
n
满足S
n
-S
n-1
=
S
n
+
S
n-1
(n≥2).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)证明数列{
S
n
}是等差数列,并求S
n
;
(3)若数列{
1
b
n
b
n+1
}前n项和为T
n
,问
T
n
>
1000
2009
的最小正整数n是多少?
(4)设
c
n
=
2
b
n
a
n
,求数列{c
n
}的前n项和P
n
.
题型:不详
难度:
|
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观察下列程序框图(如图),输出的结果是( )(可能用的公式1
2
+2
2
+…+n
2
=
1
6
n(n+1)(2n+1),n∈N*)
A.328350
B.338350
C.348551
D.318549
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和的公式是
S
n
=
π
12
(2
n
2
+n)
.
(1)求证:{a
n
}是等差数列,并求出它的首项和公差;
(2)记b
n
=sina
n
•sina
n+1
•sina
n+2
,求出数列{a
n
•b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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