已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上
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已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上
题型:不详
难度:
来源:
已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{a
n
}的前n项和为S
n
,点(n,S
n
)(n∈N
*
)均在函数y=f(x)的图象上.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
b
n
=
3
a
n
a
n+1
,T
n
是数列{b
n
}的前n项和,求使得
T
n
<
m
20
对所有n∈N
*
都成立的最小正整数m.
答案
(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax
2
+bx(a≠0),
则f′(x)=2ax+b,
由于f′(x)=6x-2,得
a=3,b=-2,
所以f(x)=3x
2
-2x.
又因为点(n,S
n
)(n∈N
*
)均在函数y=f(x)的图象上,
所以S
n
=3n
2
-2n.
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=(3n
2
-2n)-[3(n-1)
2
-2(n-1)]=6n-5.
当n=1时,a
1
=S
1
=3×1
2
-2=6×1-5,
所以,a
n
=6n-5(n∈N
*
)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知
b
n
=
3
a
n
a
n+1
=
3
(6n-5)(6(n+1)-5)
=
1
2
(
1
6n-5
-
1
6n+1
)
,
故T
n
=
n
i=1
b
i
=
1
2
[(1-
1
7
)+(
1
7
-
1
13
)+…+(
1
6n-5
-
1
6n+1
)]
=
1
2
(1-
1
6n+1
).
因此,要使
1
2
(1-
1
6n+1
)<
m
20
(n∈N
*
)成立的m,必须且仅须满足
1
2
≤
m
20
,即m≥10,
所以满足要求的最小正整数m为10.
举一反三
数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
=2,
S
n
=
1
2
a
n+1
-1
(n∈N
*
).
(Ⅰ)求a
2
,a
3
;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的通项a
n
;
(Ⅲ)求数列{na
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知{a
n
}是等差数列,其中a
10
=30,a
20
=50.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若b
n
=a
n
-20,求数列{b
n
}的前n项和T
n
的最小值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知n∈N
*
,设S
n
是单调递减的等比数列{a
n
}的前n项和,a
1
=1,且S
2
+a
2
、S
4
+a
4
、S
3
+a
3
成等差数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)数列x∈(0,+∞)满足b
1
=2a
1
,b
n+1
b
n
+b
n+1
-b
n
=0,求数列f(x)
max
≤0的通项公式;
(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,若
c
n
=
a
n
cos(nπ)
b
n
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
=2,a
3
=6.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设数列
{
1
S
n
}
的前n项和为T
n
,求T
2013
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}是公差不为0的等差数列,a
1
=2,且a
2
,a
3
,a
4
+1成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=
2
n•(
a
n
+2)
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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