已知数列{an}的前n项和为Sn,其中a1=12,5Sn=7an-an-1+5Sn-1(n≥2);等差数列{bn},其中b3=2,b5=6,.(1)求数列{an
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已知数列{an}的前n项和为Sn,其中a1=12,5Sn=7an-an-1+5Sn-1(n≥2);等差数列{bn},其中b3=2,b5=6,.(1)求数列{an
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,其中
a
1
=
1
2
,5S
n
=7a
n
-a
n-1
+5S
n-1
(n≥2);等差数列{b
n
},其中b
3
=2,b
5
=6,.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若c
n
=(b
n
+3)a
n
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
答案
(1)∵5S
n
=7a
n
-a
n-1
+5S
n-1
(n≥2);
∴5S
n
-5S
n-1
=7a
n
-a
n-1
,
∴2a
n
=a
n-1
,
a
n
a
n-1
=
1
2
,
即数列{a
n
}是公比q=
1
2
的等比数列,
∵
a
1
=
1
2
,∴
a
n
=
1
2
(
1
2
)
n-1
=
1
2
n
.
(2)在等差数列{b
n
},
∵b
3
=2,b
5
=6,
∴
b
1
+2d=2
b
1
+4d=6
,解得
b
1
=-2
d=2
,
∴b
n
=-2+2(n-1)=2n-4,
∵c
n
=(b
n
+3)a
n
,
∴c
n
=(b
n
+3)a
n
=(2n-1)
•
1
2
n
∴
T
n
=1×
1
2
+3×
1
2
2
+5×
1
2
3
+…+(2n-1)×
1
2
n
1
2
T
n
=1×
1
2
2
+3×
1
2
3
+…+(2n-3)×
1
2
n
+(2n-1)×
1
2
n+1
,
两式作差得:
∴
1
2
T
n
=
1
2
+2×(
1
2
2
+
1
2
3
+…+
1
2
n
)-(2n-1)×
1
2
n+1
=
1
2
+
2×
1
2
2
[1-
(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-(2n-1)×
1
2
n+1
,
∴
T
n
=3-
2n+3
2
n
.
举一反三
已知等比数列{a
n
}的各项均为正数,且a
1
+2a
2
=1,a
23
=4a
2
a
6
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=log
2
a
1
+log
2
a
2
+…+log
2
a
n
,求数列{
1
b
n
}的前n项和.
题型:不详
难度:
|
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设数列{a
n
},{b
n
}都是正项等比数列,S
n
,T
n
分别为数列{lga
n
}与{lgb
n
}的前n项和,且
S
n
T
n
=
n
2n+1
,则
lo
g
b
5
a
5
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足对任意的n∈N
+
,都有a
n
>0,且a
1
3
+a
2
3
+…+a
n
3
=(a
1
+a
2
+…+a
n
)
2
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)设数列{
1
a
n
a
n+2
}的前n项和为S
n
,不等式S
n
>
1
3
log
a
(1-a)
对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足:a
1
=a+2(a≥0),
a
n+1
=
a
n
+a
,n∈N
*
.
(1)若a=0,求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=|a
n+1
-a
n
|,数列的前n项和为S
n
,证明:S
n
<a
1
.
题型:不详
难度:
|
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已知α为锐角,且tanα=
2
-1,函数f(x)=2xtan2a+sin(2a+
π
4
),数列{a
n
}的首项a
1
=1,a
n+1
=f(a
n
).
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)求数列{na
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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