在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.(Ⅰ)证明数列{an-n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;(Ⅲ)证明不等式Sn

在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.(Ⅰ)证明数列{an-n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;(Ⅲ)证明不等式Sn

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在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*
(Ⅰ)证明数列{an-n}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn
(Ⅲ)证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.
答案
(Ⅰ)证明:由题设an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*
又a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知an-n=4n-1,于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n.
所以数列{an}的前n项和Sn=
4n-1
3
+
n(n+1)
2

(Ⅲ)证明:对任意的n∈N*Sn+1-4Sn=
4n+1-1
3
+
(n+1)(n+2)
2
-4(
4n-1
3
+
n(n+1)
2
)
=-
1
2
(3n2+n-4)≤0

所以不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.
举一反三
已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=(
1
4
)
n2-6n
(n∈N*),bn=log2an,则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是(  )
A.S6B.S5C.S4D.S3
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已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项的和为sn,sk=2550.
(1)求a及k的值;
(2)求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
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已知不等式x2-2x-3<0的整数解由小到大构成数列{an}前三项,若数列{an+2a2}的前n项和为Sn,则Sn=______.
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已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=an•log2an+1,求数列{bn}的前n项和Tn
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已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.
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