数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N+).(Ⅰ)证明数列{Sn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项an;(Ⅲ)求数列{n•an}
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数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N+). (Ⅰ)证明数列{Sn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项an; (Ⅲ)求数列{n•an}的前n项和Tn. |
答案
(Ⅰ)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3. 又∵S1=a1=1, ∴数列{Sn}是首项为1,公比为3的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*).…(4分) (Ⅱ)当n≥2时,an=2Sn-1=2•3n-2(n≥2), …(8分) (Ⅲ)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan, 当n=1时,T1=1; 当n≥2时,Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2,…① 3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1,…②…(11分) ①-②得:-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n•3n-1 =2+2•-2n•3n-1=-1+(1-2n)•3n-1 ∴Tn=+(n-)3n-1(n≥2).…(13分) 又∵T1=a1=1也满足上式, ∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*).…(14分) |
举一反三
在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*. (Ⅰ)证明数列{an-n}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn; (Ⅲ)证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立. |
已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=()n2-6n(n∈N*),bn=log2an,则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是( ) |
已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项的和为sn,sk=2550. (1)求a及k的值; (2)求++…+. |
已知不等式x2-2x-3<0的整数解由小到大构成数列{an}前三项,若数列{an+2a2}的前n项和为Sn,则Sn=______. |
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=an•log2an+1,求数列{bn}的前n项和Tn. |
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