(I)由题意可知,Sn=2n+1-2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n, 当n=1时,a1=S1=21+1-2=2也满足上式, 所以an=2n(n∈N*).…(3分) (II)由(I)可知bn+1+bn=2n(n∈N*),即bk+1+bk=2k(k∈N*). 当k=1时,b2+b1=21,…① 当k=2时,b3+b2=22,所以-b3-b2=-22,…② 当k=3时,b4+b3=23,…③ 当k=4时,b5+b4=24,所以-b5-b4=-24,…④ … … 当k=n-1时(n为偶数),bn+bn-1=2n-1,所以-bn-bn-1=-2n-1…n-1 以上n-1个式子相加,得bn+b1=2-22+23-24+…+2n-1 ===+,又b1=0, 所以,当n为偶数时,bn=+. 同理,当n为奇数时,-bn+b1=2-22+23-24+…-2n-1 ==, 所以,当n为奇数时,bn=-.…(6分) 因此,当n为偶数时,数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn =(-)+(+)+(-)+(+)+…+(+) =++…+=•=-; 当n为奇数时,数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn =(-)+(+)+…+(+)+(-) =(++…+)-=-. 故数列{bn}的前n项和Tn=.…(8分) (III)由(II)可知bn=, ①当n为偶数时,===+, 所以随n的增大而减小, 从而,当n为偶数时,的最大值是=1. ②当n为奇数时,===-, 所以随n的增大而增大,且=-<<1. 综上,的最大值是1. 因此,若对于任意的n∈N*,不等式bn<λbn+1恒成立,只需λ>1, 故实数λ的取值范围是(1,+∞).…(13分) |