函数f(x)=x3,在等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,记Sn=f(3an+1),令bn=anSn,数列{bn}的前n项和为Tn(1)求{a
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函数f(x)=x3,在等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,记Sn=f(3an+1),令bn=anSn,数列{bn}的前n项和为Tn(1)求{a
题型:不详
难度:
来源:
函数f(x)=x
3
,在等差数列{a
n
}中,a
3
=7,a
1
+a
2
+a
3
=12,记
S
n
=f(
3
a
n+1
)
,令b
n
=a
n
S
n
,数列{b
n
}的前n项和为T
n
(1)求{a
n
}的通项公式和S
n
(2)求证
T
n
<
1
3
.
答案
(1)设数列{a
n
}的公差为d,
∵a
3
=7,a
1
+a
2
+a
3
=12,
∴a
1
+2d=7,3a
1
+3d=12
解得a
1
=1,d=3,∴a
n
=3n-2
∵f(x)=x
3
∴
S
n
=f(
3
a
n+1
)
=a
n+1
=3n+1 (6分)
(2)证明:∵b
n
=a
n
S
n
=(3n-2)(3n+1)
∴
1
b
n
=
1
(3n-2)(3n+1)
=
1
3
(
1
3n-2
-
1
3n+1
)
T
n
=
1
b
1
+
1
b
2
+…+
1
b
n
=
1
3
(1-
1
4
+
1
4
-
1
7
+…+
1
3n-2
-
1
3n+1
)
∴
T
n
=
1
3
(1-
1
3n+1
)<
1
3
(12分)
举一反三
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
=1,
S
n
=n
a
n
-2n(n-1)(n∈
N
*
)
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)证明:
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+…+
1
a
n-1
a
n
<
1
4
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
3
=5,S
15
=225;等比数列{b
n
}满足:b
3
=a
2
+a
3
,b
2
b
5
=128
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式
(2)记c
n
=a
n
+b
n
求数列{c
n
}的前n项和为T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n+1
=
a
n
2
a
n
+1
(n∈N).
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)设:
2
b
n
=
1
a
n
+1
求数列{b
n
b
n+1
}的前n项的和T
n
;
(3)已知P=(1+b
1
)(1+b
3
)(1+b
5
)…(1+b2
n-1
),求证:Pn>
2n+1
.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}各项都不相同,前3项和为18,且a
1
、a
3
、a
7
成等比数列
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足b
n+1
-b
n
=a
n
(n∈N
*
),且b
1
=2,求数列
{
1
b
n
}
的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=-
4+
1
x
2
,数列{a
n
},点P
n
(a
n
,-
1
a
n+1
)在曲线y=f(x)上(n∈N
+
),且a
1
=1,a
n
>0.
( I)求数列{a
n
}的通项公式;
( II)数列{b
n
}的前n项和为T
n
且满足b
n
=a
n
2
a
n+1
2
,求T
n
.
题型:不详
难度:
|
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