已知数列11×4,14×7,17×10,…,1(3n-2)(3n+1),…,(1)计算S1,S2,S3,S4;(2)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.

已知数列11×4,14×7,17×10,…,1(3n-2)(3n+1),…,(1)计算S1,S2,S3,S4;(2)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.

题型:不详难度:来源:
已知数列
1
1×4
1
4×7
1
7×10
,…,
1
(3n-2)(3n+1)
,…

(1)计算S1,S2,S3,S4
(2)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.
答案
(1)S1=
1
4
S2=
2
7
S3=
3
10
S4=
4
13

(2)Sn=
n
3n+1

证明:①当n=1时,S1=
1
3×1+1
=
1
4
,结论成立
②假设当n=k时成立,结论成立,即Sk=
k
3k+1

当n=k+1时,Sk+1=Skak+1 =
k
3k+1
+
1
(3k+1)(3k+4)

=
k(3k+4)+1
(3k+1)(3k+4)
=
(k+1)(3k+1)
(3k+1)(3k+4)
=
k+1
3(k+1)+1

∴当n=k+1时结论成立
∴对于任意的k∈N+结论都成立
举一反三
在数列{an}中,a1=2,an+1-2an=0(n∈N*),bn是an和an+1的等差中项,设Sn为数列{bn}的前n项和,则S6=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2且n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{an}的前n项之和Sn,求Sn,并证明:
Sn
2n
>2n-3.
题型:浙江模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
x
3x+1
,数列an满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,求Sn
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an} 是公差为正数的等差数列,且a1+a2=1,a2•a3=10,那么数列{an}的前5项的和S5=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}中,a1=a,a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,且2Sn=n(3a1+an),n∈N*
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)若bn=





2  (n=1) 
8
an+1an+2
(n≥2) 
Tn是数列{bn}的前n项和,且an+2Tn<m•
a2n+2
+2
对一切n∈N*都成立,求实数m取值范围.
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