已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n-2)(3n+1)，…，（1）计算S1，S2，S3，S4；（2）猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．

题型：不详难度：来源：

已知数列

1×4

，

4×7

，

7×10

，…，

(3n-2)(3n+1)

，…，
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明．

答案

（1）S1=

，S2=

，S3=

，S4=

（2）Sn=

3n+1

证明：①当n=1时，S1=

3×1+1

，结论成立
②假设当n=k时成立，结论成立，即Sk=

3k+1

当n=k+1时，Sk+1=Sk+ ak+1 =

3k+1

(3k+1)(3k+4)

k(3k+4)+1

(3k+1)(3k+4)

(k+1)(3k+1)

(3k+1)(3k+4)

k+1

3(k+1)+1

∴当n=k+1时结论成立
∴对于任意的k∈N₊结论都成立

举一反三

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1-2a_n=0（n∈N^*），b_n是a_n和a_n+1的等差中项，设S_n为数列{b_n}的前n项和，则S₆=______．

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已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求S_n，并证明：

＞2n-3．

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已知函数f(x)=

3x+1

，数列a_n满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

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已知数列{a_n} 是公差为正数的等差数列，且a₁+a₂=1，a₂•a₃=10，那么数列{a_n}的前5项的和S₅=______．

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已知数列{a_n}中，a₁=a，a₂=2，S_n是数列{a_n}的前n项和，且2S_n=n（3a₁+a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=

2 (n=1)

an+1•an+2

(n≥2)

T_n是数列{b_n}的前n项和，且an+2•Tn＜m•

2n+2

+2对一切n∈N^*都成立，求实数m取值范围．

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