已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2且n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{an}的前n项之和Sn,求Sn,并证明
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已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2且n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{an}的前n项之和Sn,求Sn,并证明
题型:浙江模拟
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足a
1
=1,且a
n
=2a
n-1
+2
n
(n≥2且n∈N
*
).
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{a
n
}的前n项之和S
n
,求S
n
,并证明:
S
n
2
n
>2n-3.
答案
(Ⅰ)∵
a
n
=2
a
n-1
+2
n
(n≥2,且n∈N
*
),
∴
a
n
2
n
=
a
n-1
2
n-1
+1
,即
a
n
2
n
-
a
n-1
2
n-1
=1
(n≥2,且n∈N
*
),…(3分)
所以,数列{
a
n
2
n
}是等差数列,公差d=1,首项
1
2
,…(5分)
于是
a
n
2
n
=
1
2
+(n-1)d
=
1
2
+(n-1)•1
=n-
1
2
,
∴
a
n
=(n-
1
2
)
•2
n
.…(7分)
(Ⅱ)∵
S
n
=
1
2
•2+
3
2
•2
2
+
5
2
•
2
3
+…+
(n-
1
2
)•2
n
,①
∴2S
n
=
1
2
•
2
2
+
3
2
•
2
3
+
5
2
•
2
4
+…+
(n-
1
2
)•
2
n+1
,②…(9分)
①-②,得-
S
n
=1+
2
2
+
2
3
+…+
2
n
-(n-
1
2
)•
2
n+1
=2+2
2
+2
3
+…+
2
n
-(n-
1
2
)•
2
n+1
-1
=
2(1-
2
n
)
1-2
-(n-
1
2
)•
2
n+1
-1
=(3-2n)•2
n
-3,…(12分)
∴
S
n
=(2n-3)•
2
n
+3
>(2n-3)•2
n
,
∴
S
n
2
n
>2n-3.…(14分)
举一反三
已知函数
f(x)=
x
3x+1
,数列a
n
满足a
1
=1,a
n+1
=f(a
n
)(n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)记S
n
=a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
a
n+1
,求S
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
} 是公差为正数的等差数列,且a
1
+a
2
=1,a
2
•a
3
=10,那么数列{a
n
}的前5项的和S
5
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}中,a
1
=a,a
2
=2,S
n
是数列{a
n
}的前n项和,且2S
n
=n(3a
1
+a
n
),n∈N
*
.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅲ)若
b
n
=
2 (n=1)
8
a
n+1
•
a
n+2
(n≥2)
T
n
是数列{b
n
}的前n项和,且
a
n+2
•
T
n
<m•
a
2n+2
+2
对一切n∈N
*
都成立,求实数m取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=-2n+11,其前n项的和为S
n
(n∈N
*
),则当S
n
取最大值时,n=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=n
2
cosnπ,S
n
为它的前n项的和,则
s
2010
2011
=( )
A.1005
B.1006
C.2009
D.2010
题型:不详
难度:
|
查看答案
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