设数列{an}是等比数列,a1=C2m3m-2•Pm-11(m∈N*),公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项(按x的降幂排列).(1)求常数m的值;(2
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设数列{an}是等比数列,a1=C2m3m-2•Pm-11(m∈N*),公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项(按x的降幂排列).(1)求常数m的值;(2
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}是等比数列,a
1
=C
2m
3m-2
•P
m-1
1
(m∈N
*
),公比q是
(x+
1
4
x
2
)
4
的展开式中的第二项(按x的降幂排列).
(1)求常数m的值;
(2)用n、x表示数列{a
n
}的前项和S
n
;
(3)若T
n
=C
n
1
S
1
+C
n
2
S
2
+…+C
n
n
S
n
,用n、x表示T
n
.
答案
(1)由排列数、组合数的性质,得到不等式:
2m≥3m-2
m-1≥1
,可得2≤m≤2
∴m=2;
(2)由(1)知m=2,
由
(x+
1
4
x
2
)
4
的展开式中的同项公式知
T
2
=
C
14
x
4-1
(
1
4
x
2
)=x
,
∴a
n
=x
n-1
∴由等比数列的求和公式得:
S
n
=
n,x=1
1-
x
n
1-x
,x≠1
(3)当x=1时,S
n
=n,
所以:T
n
=C
n
1
+2C
n
2
+3C
n
3
+…+nC
n
n
=0C
n
0
+1C
n
1
+2C
n
2
+3C
n
3
+…+nC
n
n
,
又∵T
n
=nC
n
n
+(n-1)C
n
n-1
+(n-2)C
n
n-2
+…+C
n
1
+0C
n
0
,
∴上两式相加得:2T
n
=n(C
n
0
+C
n
1
+C
n
2
+…+C
n
n
)=n•2
n
,
∴T
n
=n•2
n-1
,
当x≠1时,
S
n
=
1-
x
n
1-x
,
所以有:
T
n
=
1-x
1-x
C
n1
+
1-
x
2
1-x
C
n2
+… +
1-x
n
1-x
C
nn
=
1
1-x
[(
C
1n
+
C
2n
+…+
C
nn
)-(x
C
1n
+
x
2
C
2n
+…+
x
n
C
nn
)]
=
1
1-x
[
2
n
-
(1+x)
n
],
∴
T
n
=
n•
2
n-1
,x=1
2
n
-
(1+x)
n
1-x
,x≠1
举一反三
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,令
T
n
=
S
1
+
S
2
+…+
S
n
n
,称T
n
为数列a
1
,a
2
,…,a
n
的“理想数”,已知数列a
1
,a
2
,…,a
401
的“理想数”为2010,那么数列6,a
1
,a
2
,…,a
401
的“理想数”为( )
A.2016
B.2011
C.2010
D.2009
题型:不详
难度:
|
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已知
f(n)=1+3+5+…+(2n-1),
a
n
=
2
f(n)
n
,则数列{a
n
}的前10项和等于______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}中的相邻两项a
2k-1
、a
2k
是关于x的方程x
2
-(3k+2
k
)x+3k•2
k
=0的两个根,且a
2k-1
≤a
2k
(k=1,2,3,…).
(I)求a
1
,a
3
,a
5
,a
7
及a
2n
(n≥4)(不必证明);
(Ⅱ)求数列{a
n
}的前2n项和S
2n
.
题型:浙江
难度:
|
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数列{a
n
},a
1
=1,a
n
+a
n+1
=2n,则数列{a
n+1
-a
n
}的前10项和T
10
=( )
A.0
B.5
C.10
D.20
题型:不详
难度:
|
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数列S
1
2
+
3
2
2
+
5
2
3
…+
2n-1
2
n
的前n项和为 ______.
题型:不详
难度:
|
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