已知数列{an},{bn}满足:a1=3b1=3,a2=6,bn+1=2bn-2n,bn=an-nan-1(n≥2,n∈N*).(I)探究数列{bn2n}是等差

已知数列{an},{bn}满足:a1=3b1=3,a2=6,bn+1=2bn-2n,bn=an-nan-1(n≥2,n∈N*).(I)探究数列{bn2n}是等差

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已知数列{an},{bn}满足:a1=3b1=3,a2=6,bn+1=2bn-2n,bn=an-nan-1(n≥2,n∈N*).
(I)探究数列{
bn
2n
}
是等差数列还是等比数列,并由此求数列{bn}的通项公式;
(II)求数列{nan}的前n项和Sn
答案
(I)∵bn+1=2bn-2n ,∴bn+1-2bn =-2n ,∴
bn+1
2n+1
bn
2n
=-
1
2

∴数列{
bn
2n
 }构成以
1
2
为首项,以-
1
2
为公差的等差数列,∴
bn
2n
=
1
2
-
1
2
 (n-1),
∴bn=2n(1-
n
2
 ).
(II)∵bn=an-nan-1,∴an-2n=nan-1-n2n-1=n( an-1-2n-1 ),
an-  2n
an-1-2n-1
=n,
an2n
a1-2
=
an2n
an-1-2n-1
an-1-2n-1
an-2-2n-2
an-2-2n-2
an-3-2n-3
a2-22
a1-2
 
=n(n-1)(n-2)×…×3×2,又 a1=3,故 an=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1+2n
nan=n×n(n-1)(n-2)×…×3×2×1+n 2n=(n+1)!-n!+n 2n
∴sn=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+((n+1)!-n!)+(1×2+2×22+…+n2n )
=(n+1)!-1+( 1×2+2×22+…+n2n ).
令Tn=1×2+2×22+…+n2n,①则 2Tn=1×22+2×23+…+n 2n+1,②
①-②可得,-Tn=2+22+23+…-n 2n+1,∴Tn=(n-1)2n+1+2,
∴sn=(n+1)!+(n-1)2n+1+1.
举一反三
已知数列{an}的前n项和为sn,且an=n•3n,求sn
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设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn=nan-n(n-1).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足:an=
b1
3+1
+
b2
3×2+1
+
b3
3×3+1
+…+
bn
3n+1
,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)令cn=
anbn
4
(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn
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若数列{an}通项公式an=
1
n(n+1)
(n∈N+)
,Sn为其前n项和,
(1)试计算S1,S2,S3的值;
(2)猜测出Sn的公式.
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已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225.数列{bn}是等比数列,b3=a2+a3,b2b5=128(其中n=1,2,3,…).
(I)求数列{an}和{bn}的通项公式;(II)记cn=anbn,求数列cn前n项和Tn
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数列{an}的前n项和为snsn=
1
2
n2+
1
2
n
,则数列{
1
anan+1
}
的前100项的和为(  )
A.
100
101
B.
99
101
C.
99
100
D.
101
100
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