已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1(n≥1,n∈N)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2nanan+1,数列{bn}的前n项和为Sn
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已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1(n≥1,n∈N)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2nanan+1,数列{bn}的前n项和为Sn
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}中,a
1
=3,a
n+1
=2a
n
-1(n≥1,n∈N)
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设
b
n
=
2
n
a
n
a
n+1
,数列{b
n
}的前n项和为S
n
,求证:
S
n
<
1
3
.
答案
(1)由a
n+1
=2a
n
-1,得a
n+1
-1=2(a
n
-1),
又a
1
-1=2,所以{a
n
-1}是以2为首项,2为公比的等比数列
∴
a
n
-1=
2
n
,即
a
n
=
2
n
+1
;
(2)证明:
b
n
=
2
n
a
n
a
n+1
=
2
n
(
2
n
+1)(
2
n+1
+1)
=
1
2
n
+1
-
1
2
n+1
+1
∴
S
n
=(
1
2
1
+1
-
1
2
2
+1
)+(
1
2
2
+1
-
1
2
3
+1
)+…+(
1
2
n
+1
-
1
2
n+1
+1
)
=
1
3
-
1
2
n+1
+1
∵
1
2
n+1
+1
>0
,
∴
S
n
<
1
3
.
举一反三
计算1
2
-2
2
+3
2
-4
2
+…+99
2
-100
2
=( )
A.-100
B.-200
C.-1024
D.-5050
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}中,a
1
=a,a
2
=t(常数t>0),S
n
是其前n项和,且
S
n
=
n(
a
n
-
a
1
)
2
.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)试确定数列{a
n
}是否是等差数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由;
(Ⅲ)令
b
n
=
S
n+2
S
n+1
+
S
n+1
S
n+2
,求证:2n<b
1
+b
2
+…+b
n
<2n+3.(n∈N
*
).
题型:不详
难度:
|
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如图所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列.
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
…
第1行
1
2
…
第2行
1
2
1
…
第3行
a
…
第4行
b
…
第5行
c
…
…
…
…
…
…
…
…
题型:不详
难度:
|
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已知数列a
n
=2n,前n项和为S
n
,若数列
{
1
S
n
}
的前n项和为T
n
,则T
2012
的值为( )
A.
2012
2011
B.
2010
2011
C.
2013
2012
D.
2012
2013
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}中,a
1
=8,a
4
=2且满足a
n+2
-2a
n+1
+a
n
=0(n∈N
*
)
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设S
n
=|a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|,求S
20
;
(3)
设
b
n
=
4
n(14-
a
n
)
,
T
n
=
b
1
+
b
2
+…+
b
n
(n∈
N
*
)
,是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N
*
,均有
T
n
>
m
9
成立?若存在,求出m,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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