已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=12-12an(I)求数列{an}的通项公式;(II)设f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a

已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=12-12an(I)求数列{an}的通项公式;(II)设f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}的前n项和Sn与通项an之间满足关系Sn=
1
2
-
1
2
an

(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a2)+L+f(an),Tn=
1
b1
+
1
b2
+L+
1
bn
,求T2012
(III)若cn=an•f(an),求{cn}的前n项和an
答案
(I)n=1时,a1=S1=
1
2
-
1
2
a1,∴a1=
1
3
                            (1分)
n≥2时,an=Sn-Sn-1=
1
2
-
1
2
an
-
1
2
+
1
2
an-1
,∴an=
1
3
an-1
即数列{an}是首项为
1
3
,公比为
1
3
的等比数列                 (3分)
故an=(
1
3
)n
                                           (4分)
(II)由已知可得:f(an)=-n,则bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an)=-1-2-…-n=-
n(n+1)
2
(5分)
1
bn
=-2(
1
n
-
1
n+1
)                                (6分)
∴Tn=
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
=2[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]=-2(1-
1
n+1

∴T2012=-
4024
2013
      (8分)
(III)由题意:cn=an•f(an)=-n×(
1
3
)
n
,故{cn}的前n项和un=-[1×(
1
3
)
1
+2×(
1
3
)
2
+…+n×(
1
3
)
n
]①
1
3
un=-[1×(
1
3
)
2
+2×(
1
3
)
3
+…+n×(
1
3
)
n+1
]②
①-②可得:
2
3
un=-[(
1
3
)
1
+(
1
3
)
2
+(
1
3
)
3
+…+(
1
3
)
n
-n×(
1
3
)
n+1
](12分)
2
3
un=-
1
2
[1-(
1
3
)
n
]+n×(
1
3
)
n+1

∴un=-
3
4
+
3
4
×(
1
3
)
n
+
3
2
(
1
3
)
n+1
                      (14分)
举一反三
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+,…,+
1
2n(2n+2)
=(  )
A.
n
2n+2
B.
n
4n+4
C.
2n
n+1
D.
2n
2n+1
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n) 2n,则数列{
an
n
}的前n项和Tn=(  )
A.(n-1)2n-2B.(n+2)2n-1C.(n+2)2n-2D.(n+2)2n+1-2
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=x(
1
2
x+
1
x+1
,O为坐标原点,An为函数y=f(x)图象上横坐标为n(n∈N*)的点,向量


OAn
与向量


i
=(1,0)的夹角为θn,则满足tanθ1+tanθ2+…+tanθn
5
3
的最大整数n的值为______.
题型:徐汇区二模难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项的和Sn=n2+2n,数列{bn}是正项等比数列,且满足a1=2b1,b3(a3-a1)=b1
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记cn=an•bn,求数列{cn}的前n项的和.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项和Sn=n2-n(n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足 an+log3n=log3bn,求数列{bn}的前n项和;
(3)若正数数列{cn}满足cnn+1=
(n+1)an+1
2n
(n∈N*),求数列{cn}中的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
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