(I)给定数列{cn},如果存在实常数p,q,使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立,则称数列{cn}是“M类数列”.(i)若an=3•2n,n∈N*,
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(I)给定数列{cn},如果存在实常数p,q,使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立,则称数列{cn}是“M类数列”. (i)若an=3•2n,n∈N*,数列{an}是否为“M类数列”?若是,指出它对应的实常数p,q,若不是,请说明理由; (ii)若数列{bn}的前n项和为Sn=n2+n,证明数列{bn}是“M类数列”. (Ⅱ)若数列{an}满足a1=2,an+an+1=2n(n∈N*),求数列{an}前2013项的和. |
答案
(Ⅰ)(i)∵an=3•2n,n∈N*, ∴an+1=3×2n+1=2×(3×2n)=2×an=2an+0, ∴p=2,q=0 ∴数列{an}是“M”数列. (ii)当n=1时,b1=S1=12+1=2. 当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 上式对于n=1时也成立, ∴bn=2n(n∈N*). ∴bn+1=2(n+1)=2n+2=bn+2. ∴数列{bn}是“M”数列,且p=1,q=2. (Ⅱ)∵an+an+1=2n(n∈N*),∴a2+a3=22,a4+a5=24,…a2012+a2013=22012. S2013=a1+a2+a3+…+a2013=2+22+24+…+22012=2+=. 故数列{an}前2013项的和S2013=. |
举一反三
已知数列{an}满足a1=1,an+1•an=2n(n∈N*),则S2012=( )A.22012-1 | B.3×21006-3 | C.3×21006-1 | D.3×21005-2 |
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已知函数y=(n∈N*,y≠1)的最小值为an,最大值为bn,且cn=4(anbn-).数列{cn}的前n项和为Sn. (1)请用判别式法求a1和b1; (2)求数列{cn}的通项公式cn; (3)若{dn}为等差数列,且dn=(c为非零常数),设f(n)=(n∈N*),求f(n)的最大值. |
等差数列{an}中,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,{bn}的公比q= (1)求an与bn; (2)求++…+. |
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