设数列{an}的前n项和为Sn,已知数列{an}的各项都为正数,且对任意n∈N*都有2pSn=an2+pan(其中p>0为常数)(1)求数列{an}的通项公式;
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设数列{an}的前n项和为Sn,已知数列{an}的各项都为正数,且对任意n∈N*都有2pSn=an2+pan(其中p>0为常数)(1)求数列{an}的通项公式;
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知数列{a
n
}的各项都为正数,且对任意n∈N
*
都有2pS
n
=a
n
2
+pa
n
(其中p>0为常数)
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若对任意n∈N
*
都有
1
S
1
+
1
S
2
+
…+
1
S
n
<1成立,求p的取值范围.
答案
(1)当n=1时,2pS
1
=a
1
2
+pa
1
,∴a
1
=p,
∵2pS
n
=a
n
2
+pa
n
,∴n≥2时,2pS
n-1
=a
n-1
2
+pa
n-1
,
两式相减可得p(a
n
+a
n-1
)=(a
n
-a
n-1
)(a
n
+a
n-1
)
∵a
n
+a
n-1
>0,∴a
n
-a
n-1
=p
∴数列{a
n
}是首项和公差都为p的等差数列
∴a
n
=np;
(2)由(1)知
S
n
=
n(p+np)
2
,∴
1
S
n
=
2
p
(
1
n
-
1
n+1
)
∴
1
S
1
+
1
S
2
+
…+
1
S
n
=
2
p
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)=
2
p
(1-
1
n+1
)
=
2
p
•
n
n+1
∵对任意n∈N
*
都有
1
S
1
+
1
S
2
+
…+
1
S
n
<1成立,
∴
2
p
•
n
n+1
<1
∴
n
n+1
<
p
2
∵
n
n+1
<1
∴
p
2
≥1,即p≥2.
举一反三
一个公差不为零的等差数列{a
n
}共有100项,首项为5,其第1、4、16项分别为正项等比数列{b
n
}的第1、3、5项.记{a
n
}各项和的值为S.
(1)求S (用数字作答);
(2)若{b
n
}的末项不大于
S
2
,求{b
n
}项数的最大值N;
(3)记数列{c
n
},c
n
=a
n
b
n
(n∈N*,n≤100).求数列{c
n
}的前n项的和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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设数列{x
n
}各项为正,且满足x
1
2
+x
2
2
+…x
n
2
=2n
2
+2n.
(1)求x
n
;
(2)已知
1
x
1
+x
2
+
1
x
2
+
x
3
+…+
1
x
n
+
x
n+1
=3
,求n;
(3)证明:x
1
x
2
+x
2
x
3
+…x
n
x
n+1
<2[(n+1)
2
-1].
题型:不详
难度:
|
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对于实数x,用[x]表示不超过x的最大整数,如[0.32]=0,[5.68]=5.若n为正整数,
a
n
=[
n
4
]
,S
n
为数列{a
n
}的前n项和,则S
4n
=______.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的通项公式
a
n
=
1
n
+
n+1
,则该数列的前______项之和等于9.
题型:不详
难度:
|
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一般地,在数列{a
n
}中,如果存在非零常数T,使得a
m+T
=a
m
对任意正整数m均成立,那么就称{a
n
}为周期数列,其中T叫做数列{a
n
}的周期.已知数列{x
n
}满足x
n+1
=|x
n
-x
n-1
|(n≥2,n∈N
*
),如果x
1
=1,x
2
=a,(a≤1,a≠0),设S
2009
为其前2009项的和,则当数列{x
n
}的周期为3时,S
2009
=______.
题型:不详
难度:
|
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