已知数列{an}与{bn}有如下关系:a1=2,an+1=12(an+1an),bn=an+1an-1.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)设Sn是数列{an

已知数列{an}与{bn}有如下关系:a1=2,an+1=12(an+1an),bn=an+1an-1.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)设Sn是数列{an

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}与{bn}有如下关系:a1=2,an+1=
1
2
(an+
1
an
),bn=
an+1
an-1

(1)求数列{bn}的通项公式.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,当n≥2时,求证:Sn<n+
4
3
答案
(1)∵bn=
an+1
an-1

∴b1=
a1+1
a1-1
=3

∵an+1=
1
2
(an+
1
an
),
∴bn+1=
an+1+1
an+1-1
=(
an+1
an-1
)
2
=
b2n
>0

bn=
b2n-1
=…=32n-1

(2)证明:当n≥2时,an+1-1=
an-1
32n-1+1
1
10
(an-1)

(当且仅当n=2时取等号)且a2=
1
2
(a1+
1
a1
)=
5
4

a3-1≤
1
10
(a2-1)
a4-1≤
1
10
(a3-1)
,…,an-1≤
1
10
(an-1-1)

以上式子累和得Sn-a1-a2-(n-2)≤
1
10
[Sn-1-a1-(n-2)]

∴10[Sn-a1-a2-(n-2)]≤Sn-1-a1-(n-2)
9Sn
25
2
+9n-
32n-1+1
32n-1-1

Sn
25
18
+n-
32n-1+1
9(32n-1-1)
25
18
+n-
1
9
=
23
18
+n<
24
18
+n

∴Sn<n+
4
3
.得证
举一反三
数列{an}的通项an=n2(cos2
3
-sin2
3
),其前n项和为Sn,则S30为(  )
A.470B.490C.495D.510
题型:江西难度:| 查看答案
已直数列{an}的前n项和为Sn,若an=
1


n
+


n-1
 (n∈N*)
,则S2009的值为(  )
A.


2008
B.


2008
-1
C.


2009
D.


2009
-1
题型:成都二模难度:| 查看答案
已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=(
1
4
)
n
(n∈N﹡),Sn=a1+a2•4+a3•42+…+an•4n-1 类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,可求得5Sn-4nan=______.
题型:不详难度:| 查看答案
下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*))个正数排成的n行n列数表,aij表示第i行第j列的一个数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d,表中各行,每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为q,已知a13=
1
4
, a23=
3
8
, a32=1

(1)求a11,d,q的值;
(2)设表中对角线上的数a11,a22,a33,…,ann组成的数列为{an},记Tn=a11+a22+a33+…+ann,求使不等式2nTn<4n-n-43成立的最小正整数n.
题型:不详难度:| 查看答案
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a11a12a13a1n
a21a22a23a2n
a31a32a33a3n
an1an2an3ann
已知a1=b1=1,an+1=bn+n,bn+1=an+(-1)n,n∈N*
(1)求a3,a5的值;
(2)求通项公式an
(3)求证:
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
13
4