设f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*),是否存在g(n),使得等式f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+n=ng(n)f(n)总成立?若存在,请

设f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*),是否存在g(n),使得等式f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+n=ng(n)f(n)总成立?若存在,请

题型:奉贤区二模难度:来源:
f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)
,是否存在g(n),使得等式f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+n=ng(n)f(n)总成立?若存在,请写出g(n)通项公式(不必说明理由);若不存在,说明理由.______.
答案
f(1)=1
f(2)=1+
1
2

f(3)=1+
1
2
+
1
3


f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…
1
n

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)
=n×1+
1
2
(n-1)+
1
3
(n-2)…
1
n
[n-(n-1)]
=n[1+
1
2
+
1
3
+…
1
n
]-[
1
2
+
2
3
+
3
4
n-1
n
]
=nf(n)-[1-
1
2
+1-
1
3
+1-
1
4
…1-
1
n
]
=nf(n)-[(n-1)-f(n)+1]
=(n+1)f(n)-n
因为f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+n=ng(n)f(n)
所以(n+1)f(n)=ng(n)f(n)
所以g(n)=
n+1
n

故答案为:存在,通项公式g(n)=
n+1
n
举一反三
已知数列{an}的首项a1=
1
2
,前n项和Sn=n2an
(Ⅰ)求证:an+1=
n
n+2
an

(Ⅱ)记bn=lnSn,Tn为{bn}的前n项和,求e-Tn-n的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}与{bn}有如下关系:a1=2,an+1=
1
2
(an+
1
an
),bn=
an+1
an-1

(1)求数列{bn}的通项公式.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,当n≥2时,求证:Sn<n+
4
3
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}的通项an=n2(cos2
3
-sin2
3
),其前n项和为Sn,则S30为(  )
A.470B.490C.495D.510
题型:江西难度:| 查看答案
已直数列{an}的前n项和为Sn,若an=
1


n
+


n-1
 (n∈N*)
,则S2009的值为(  )
A.


2008
B.


2008
-1
C.


2009
D.


2009
-1
题型:成都二模难度:| 查看答案
已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=(
1
4
)
n
(n∈N﹡),Sn=a1+a2•4+a3•42+…+an•4n-1 类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,可求得5Sn-4nan=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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