已知数列{an}中,a1=56,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0(n∈N+,n≥2)都有根α,β且3α-αβ+3β=1,则{
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已知数列{an}中,a1=56,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0(n∈N+,n≥2)都有根α,β且3α-αβ+3β=1,则{
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}中,
a
1
=
5
6
,若以a
1
,a
2
,…,a
n
为系数的二次方程a
n-1
x
2
-a
n
x+1=0(n∈N
+
,n≥2)都有根α,β且3α-αβ+3β=1,则{a
n
}的前n项和S
n
=______.
答案
由题意,∵α+β=
a
n
a
n-1
,αβ=
1
a
n-1
代入3α-αβ+3β=1得a
n
=
1
3
a
n-1
+
1
3
,
∴
a
n
-
1
2
a
n-1
-
1
2
=
1
3
a
n-1
+
1
3
-
1
2
a
n-1
-
1
2
=
1
3
为定值.
∴数列{a
n
-
1
2
}是等比数列.
∵a
1
-
1
2
=
5
6
-
1
2
=
1
3
,
∴a
n
-
1
2
=
1
3
×(
1
3
)
n-1
=(
1
3
)
n
.
∴a
n
=(
1
3
)
n
+
1
2
.
∴S
n
=(
1
3
+
1
3
2
++
1
3
n
)+
n
2
=
1
3
(1-
1
3
n
)
1-
1
3
+
n
2
=
n+1
2
-
1
2×
3
n
.
故答案为:
S
n
=
n+1
2
-
1
2×
3
n
举一反三
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
+2n-1,则a
1
+a
3
+a
5
+…+a
25
=______.
题型:淮南一模
难度:
|
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将n
2
个数排成n行n列的一个数阵:
a
11
a
12
a
13
…a
1n
a
21
a
22
a
23
…a
2n
a
31
a
32
a
33
…a
3n
…
a
n1
a
n2
a
n3
…a
nn
已知a
11
=2,a
13
=a
61
+1,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,其中m为正实数.
(1)求第i行第j列的数a
ij
;
(2)求这n
2
个数的和.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,a
1
=1,前n项和S
n
满足条件
S
2n
S
n
=4,n=1,2,…
(1)求数列{a
n
}的通项公式和S
n
;
(2)记b
n
=
a
n
•
2
n-1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(文科做)已知数列{a
n
}满足递推式:a
n
-a
n-1
=2n-1,(n≥2,n∈N)且a
1
=1.
(1)求a
2
,a
3
;
(2)求a
n
;
(3)若b
n
=(-1)
n
a
n
,求数列{b
n
}的前n项之和T
n
.
题型:武汉模拟
难度:
|
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已知数列{a
n
}是等差数列,{b
n
}是等比数列,且a
1
=b
1
=2,b
4
=54,a
1
+a
2
+a
3
=b
2
+b
3
.
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)数列{c
n
}满足c
n
=a
n
b
n
,求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
题型:蓝山县模拟
难度:
|
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