设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3，n∈N*．（1）求数列{an}的通项；（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．

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设数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设bn=

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（1）∵a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

，①
∴当n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=

n-1

．②
①-②，得3^n-1a_n=

，an=

（n≥2），
在①中，令n=1，
得a1=

．∴an=

．
（2）∵bn=

，
∴b_n=n•3ⁿ．
∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ．③
∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹．④
④-③，得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ），
即2S_n=n•3ⁿ⁺¹-

3(1-3n)

1-3

．
∴Sn=

(2n-1)3n+1

．

举一反三

在平面直角坐标系中，已知A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）（n∈N^*），满足向量

AnAn+1

与向量

BnCn

共线，且点B_n（n，b_n）（n∈N^*）都在斜率为6的同一条直线上，若a₁=6，b₁=12．求：
（1）数列{a_n}的通项a_n；
（2）数列{

}的前n项和T_n．

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已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an+n，n为奇数

an-2n，n为偶数

，记b_n=a_2n，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求S_2n+1．

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已知f（x）=sin

（x+1）-

cos

（x-1），f（1）+f（2）+f（3）+…f（2009）=______．

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等比数列{a_n}的前n项和为3ⁿ-1，则数列{a_n²}的前n项和为______．

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已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=

（1-a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并比较s_n与

的大小；
（Ⅱ）设函数f(x)=log

x，令b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求数列{

}的前n项和T_n．

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