设数列{an}满足a1=0且11-an+1-11-an=1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=1-an+1n，记Sn=nk=1bk，证明：Sn＜1．

题型：不详难度：来源：

设数列{a_n}满足a₁=0且

1

1-an+1

-

1

1-an

=1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1- an+1

n

，记Sn=

n

k=1

bk，证明：S_n＜1．

答案

（Ⅰ）{

1

1-an

}是公差为1的等差数列，

1

1-an

=

1

1-a1

+(n-1)×1=n，
∴an=

n-1

n

（n∈N^*）．
（Ⅱ）bn=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=(

1

1

-

1

2

)  +(

1

2

-

1

3

) +…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．