(1)由题意知a1=-a1-1+2,∴a1=. 当n≥2时,Sn-1=-an-1-()n-2+2, ∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1. ∴2an=an-1+()n-1,即2n•an=2n-1an-1+1, 设bn=2nan,则bn-bn-1=1, ∵b1=2a1=1,∴bn=1+(n-1)=n=2nan, ∴an=. (2)由(1)得cn=an=(n+1)()n, ∴Tn=2×+3× ()2 +4×()3+…+(n+1)×()n,① Tn=2×()2+3×()3+4×()4+…+n()n+(n+1)()n+1② ①-②得Tn=1+ ()2 +()3+…+()n-(n+1)()n+1 =1+-(n+1)()n+1 =-, ∴Tn=3-. Tn-=. 于是确定Tn与的大小等价于比较2n与2n+1的大小, 由2<2×1+1,22<2×2+1,23>2×3+1,24>2×4+1, 可猜想当n≥3时,2n>2n+1,证明如下. (1)当n=3时,23>2×3+1,猜想成立. (2)假设当n=k时,猜想成立,即2k>2k+1. 当 n=k+1时,2k+1=2•2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)-1. 所以,当n=k+1时,猜想也成立. 综合(1)(2)可知,对一切n≥3的正整数,都有2n>2n+1. ∴当n=1,2时,Tn<.当n≥3时,Tn≥. |