已知a1，a2，…，a8是首项为1，公比为2的等比数列，对于1≤k＜8的整数k，数列b1，b2，…，b8由bn=an+k，1≤n≤8-kan+k-8， 8-k＜

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已知a₁，a₂，…，a₈是首项为1，公比为2的等比数列，对于1≤k＜8的整数k，数列b₁，b₂，…，b₈由b_n=

an+k，1≤n≤8-k

an+k-8， 8-k＜n≤8

确定．记C=

n=1

anbn．
（I）求k=3时C的值（求出具体的数值）；
（Ⅱ）求C最小时k的值．

答案

（I）显然an=2n-1(1≤n≤8)．
∴k=3，∴bn=

an+3，1≤n≤5

an-5，5＜n≤8.

∴C=

n=1

anbn=

n=1

anan+3+

n=6

anan-5=

n=1

22n+1+

n=6

22n-6
=（2³+2⁵+2⁷+2⁹+2¹¹）+（2⁵+2⁷+2⁹）
=3400．
（II）∵bn=

an+k，1≤n≤8-k

an+k-8，8-k＜n≤8.

∴C=

n=1

anbn=

8-k

n=1

anan+k+

n=0-k

anan+k-8=

8-k

n=1

22n+k-2+

n=9-k

22n+k-10，
=

2k(48-k-1)

4-1

28-k(4k-1)

4-1

(216-k-2k+28+k-28-k)
=

(212-24)(24-k+2k-4)≥

(212-24)

24-k•2k-4

=2720．
∴当且仅当2^4-k=2^k-4时，C的值最小，此时解得k=4．

举一反三

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n的表达式．

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过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂；…；依此下去，得到一系列点M₁，M₂，…M_n，…；设它们的横坐标a₁，a₂，…，
a_n…构成数列为{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：an≥1+

k-1

；
（Ⅲ）当k=2时，令bn=

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

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对于数列A：a₁，a₂，a₃（a_i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2），且b₃=|a₃-a₁|．这种“T变换”记作B=T（A），继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c_l，c₂，c₃，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）写出数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₃不全相等，判断数列A：a₁，a₂，a₃经过不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；
（Ⅲ）设数列A：400，2，403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．

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已知数列{a_n}中，a₁=-

，a_n+1-a_n=

n(n+1)

（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂、a₃的值；
（Ⅱ）求a_n；
（Ⅲ）设b_n=（1+2+3+…+n）a_n，求b_n的最小值．

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已知S_n=

+…+

n+1

．若S_m=9，则m=______．

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