数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令cn=（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．

题型：河南省期末题难度：来源：

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=（n∈N*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

答案

解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a₁=2满足该式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n
（Ⅱ）c_n=n（3ⁿ+1）=n·3ⁿ+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n）
令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
则3H_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹②
①﹣②得，﹣2H_n=3+3²+3³+…+3ⁿ﹣n×3ⁿ⁺¹= ﹣n×3ⁿ⁺¹
∴H_n= ，
∴数列{c_n}的前n项和T_n= +