已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

题型：不详难度：来源：

已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a⁵ + b⁵ > a²b³ + a³b²

答案

见解析

解析

证明：(a⁵ + b⁵ ) - (a²b³ + a³b²) =" (" a⁵- a³b²) + (b⁵- a²b³ )
= a³ (a²- b² ) - b³ (a²- b²) = (a²- b² ) (a³- b³)
=" (a" + b)(a - b)²(a² + ab + b²)
∵a, b都是正数，∴a + b, a² + ab + b² > 0
又∵a ¹ b，∴(a - b)² > 0  ∴(a + b)(a - b)²(a² + ab + b²) > 0
即：a⁵ + b⁵ > a²b³ + a³b²