已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).(1)当a=4时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).(1)当a=4时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
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来源:
已知函数f(x)=
,x∈[1,+∞).
(1)当a=4时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
答案
(1)6(2)
解析
(1)由a=4,∴f(x)=
=x+
+2≥6,当x=2时,取得等号.即当x=2时,f(x)
min
=6.
(2)x∈[1,+∞),
>0恒成立,即x∈[1,+∞),x
2
+2x+a>0恒成立.
等价于a>-x
2
-2x,当x∈[1,+∞)时恒成立,
令g(x)=-x
2
-2x,x∈[1,+∞),
∴a>g(x)
max
=-1-2×1=-3,即a>-3.∴a的取值范围是
.
举一反三
某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m
2
的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/m
2
,中间两道隔墙建造单价为248元/m
2
,池底建造单价为80元/m
2
,水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
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2
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2
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k
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