已知椭圆的离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程:(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线的距离为,求△AOB面积的最大值.

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程:
(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线的距离为,求△AOB面积的最大值.

答案

(Ⅰ) .
(Ⅱ) 面积取最大值.

解析

试题分析：(Ⅰ)属于椭圆的基本题型.通过建立的方程组，求得椭圆方程为.
(Ⅱ)解答本小题，应注意讨论轴和当与轴不垂直的两种情况.在与轴不垂直设直线的方程为.利用坐标原点到直线的距离为，建立 的方程.通过将直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理、弦长公式，得到.应用均值定理得到
．
试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，依题意，离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.
，，∴所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设.
①当轴时，.
②当与轴不垂直时，设直线的方程为.
∵坐标原点到直线的距离为，，
把代入椭圆方程，整理得，


当且仅当时等号成立，
当时，，
综上所述．
∴当最大时，面积取最大值．