解法一:由于a的值为正数,将已知不等式两边平方,得: x+y+2≤a2(x+y),即2≤(a2-1)(x+y), ① ∴x,y>0,∴x+y≥2, ② 当且仅当x=y时,②中有等号成立. 比较①、②得a的最小值满足a2-1=1, ∴a2=2,a= (因a>0),∴a的最小值是. 解法二: 设. ∵x>0,y>0,∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立), ∴≤1,的最大值是1. 从而可知,u的最大值为, 又由已知,得a≥u,∴a的最小值为. 解法三: ∵y>0, ∴原不等式可化为+1≤a, 设=tanθ,θ∈(0,). ∴tanθ+1≤a 即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+), ③ 又∵sin(θ+)的最大值为1(此时θ=). 由③式可知a的最小值为. |