已知正实数x,y满足x+y+3=xy,若对任意满足条件的x,y,都有(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围为______.

已知正实数x,y满足x+y+3=xy,若对任意满足条件的x,y,都有(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围为______.

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已知正实数x,y满足x+y+3=xy,若对任意满足条件的x,y,都有(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围为______.
答案
∵正实数x,y满足x+y+3=xy,而xy≤(
x+y
2
)
2

∴x+y+3≤(
x+y
2
)
2

∴(x+y)2-4(x+y)-12≥0,
∴x+y≥6或x+y≤-2(舍去),
∴x+y≥6.
又正实数x,y有(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,
∴a≤x+y+
1
x+y
恒成立,
∴a≤(x+y+
1
x+y
)
min

令x+y=t(t≥6,)g(t)=t+
1
t
,由双钩函数的性质得g(t)在[6,+∞)上单调递增,
(x+y+
1
x+y
)
min
=g(t)min=g(6)=6+
1
6
=
37
6

∴a≤
37
6

故答案为:(-∞,
37
6
].
举一反三
现有一段长为18m的铁丝,要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架,当长方体体积最大时,底面的较短边长是(  )
A.1mB.1.5mC.0.75mD.0.5m
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下列函数中,最小值为4的函数是(  )
A.y=lgx+
4
lgx
(x>0)
B.y=sinx+
4
sinx
(0<x<π)
C.y=ax+4a-x (a>0,a≠1)D.y=x+
4
x-1
(x>1)
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对一切正数m,不等式n<
4
m
+2m恒成立,则常数n的取值范围为(  )
A.(-∞,0)B.(-∞,4


2
C.(4


2
,+∞)
D.[4


2
,+∞)
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已知0<x<
1
3
,则x(1-3x)取最大值时x的值是(  )
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
6
D.2
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设x+3y-2=0,则函数z=3x+27y+3的最小值是(  )
A.3
2
3
B.3+2


2
C.6D.9
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