α和β是关于x的方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两个实根，则α2+β2的最大值为______．

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α和β是关于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两个实根，则α²+β²的最大值为______．

答案

∵α和β是关于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两个实根
∴α+β=k-2，αβ=k²+3k+5
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=-（k+5）²+19
∵△=（k-2）²-4（k²+3k+5）=-3k²-16k-16≥0
∴-4≤k≤-

，
∴k=-4时，α²+β²取得最大，最大值为18
故答案为：18．

举一反三

要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？

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已知函数f(x)=x+

x-3

(x＞3)
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f(x)≥

t+1

+7恒成立，求实数t的取值范围．

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已知a，b是正数，求证：（1+a+b）（1+a²+b²）≥9ab．并指出等号成立的条件．

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x＞1，y＞1且lgx+lgy=4，则lgxlgy最大值为（　　）

A．2

B．4

C．8

D．16

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设函数f（x）=2x+

-1（x＜0），则f（x）有最______（填“大”或“小”）值为______．

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