已知函数f(x)=x+9x-3(x>3)(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)若不等式f(x)≥tt+1+7恒成立,求实数t的取值范围.

已知函数f(x)=x+9x-3(x>3)(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)若不等式f(x)≥tt+1+7恒成立,求实数t的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x+
9
x-3
(x>3)

(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥
t
t+1
+7
恒成立,求实数t的取值范围.
答案
(I)∵x>3,
∴x-3>0.
f(x)=x+
9
x-3
=x-3+
9
x-3
+3
≥2


(x-3)•
9
x-3
+3=9
.…(3分)
当且仅当x-3=
9
x-3

即(x-3)2=9时上式取得等号,
又∵x>3,
∴x=6,…(5分)
∴当x=6时,函数f(x)的最小值是9.…(6分)
(II)由(I)知,当x>3时,f(x)的最小值是9,
要使不等式f(x)≥
t
t+1
+7
恒成立,只需9≥
t
t+1
+7
…(9分)
t
t+1
-2≤0
-t-2
t+1
≤0

解得t≤-2或t>-1
∴实数t的取值范围是(-∞,-2]∪(-1,+∞).…(12分)
举一反三
已知a,b是正数,求证:(1+a+b)(1+a2+b2)≥9ab.并指出等号成立的条件.
题型:不详难度:| 查看答案
x>1,y>1且lgx+lgy=4,则lgxlgy最大值为(  )
A.2B.4C.8D.16
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=2x+
1
x
-1(x<0),则f(x)有最______(填“大”或“小”)值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知正数a,b,c满足:ab+bc+ca=1.
(1)求证:(a+b+c)2≥3;(2)求a


bc
+b


ac
+c


ab
的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
若直线ax+2by-2=0(a,b∈(0,+∞))平分圆x2+y2-4x-2y-6=0,则
1
a
+
2
b
的最小值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.