从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t
题型:钟祥市模拟难度:来源:
从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问: (1)求长方体的容积V关于x的函数表达式; (2)x取何值时,长方体的容积V有最大值? |
答案
(1)长方体的底面正方形的边长为2a-2x,高为x,所以,容积V=4(x-a)2x, 由≤t,得 0<x≤, (2)由均值不等式知V=2(a-x)(a-x)(2x)≤2()3=, 当a-x=2x,即x=时等号成立. ①当≤,即t≥,Vmax=; ②当>,即0<t<时,V′(x)=12(x-)2-, 则V′(x)在(0,)上单调递减, ∴V′(x)≥V′()>V′()=0, ∴V(x)在(0,]单调递增, ∴V(x)max=V()= 总之,若0<t<,则当x=时,Vmax=; 若t≥,则当x=时,Vmax=. |
举一反三
若M(x,y)在直线上x+2y+1=0移动,则2x+4y的最小值是( ) |
若a>0,b>0,满足ab≥1+a+b,那么( )A.a+b有最小值2+2 | B.a+b有最大值(+1)2 | C.ab有最大值+1 | D.ab有最小值2+2 |
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已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为______. |
设A(,0),B(0,),已知点P(x,y)在线段AB(不含端点)上运动,则+的最小值是______. |
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