设x，y是正实数，且x+y=1，则x2x+2+y2y+1的最小值是______．

题型：不详难度：来源：

设x，y是正实数，且x+y=1，则

x2

x+2

+

y2

y+1

的最小值是______．

答案

设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，
所以

x2

x+2

+

y2

y+1

=

(s-2)2

s

+

(t-1)2

t

=(s-4+

4

s

)+(t-2+

1

t

)=(s+t)+(

4

s

+

1

t

)-6=(

4

s

+

1

t

)-2．
因为

4

s

+

1

t

=

1

4

(

4

s

+

1

t

)(s+t)=

1

4

(

4t

s

+

s

t

+5)≥

9

4

所以

x2

x+2

+

y2

y+1

≥

1

4

．
故答案为

1

4

．