设x,y是正实数,且x+y=1,则x2x+2+y2y+1的最小值是______.

设x,y是正实数,且x+y=1,则x2x+2+y2y+1的最小值是______.

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设x,y是正实数,且x+y=1,则
x2
x+2
+
y2
y+1
的最小值是______.
答案
设x+2=s,y+1=t,则s+t=x+y+3=4,
所以
x2
x+2
+
y2
y+1
=
(s-2)2
s
+
(t-1)2
t
=(s-4+
4
s
)+(t-2+
1
t
)
=(s+t)+(
4
s
+
1
t
)-6=(
4
s
+
1
t
)-2

因为
4
s
+
1
t
=
1
4
(
4
s
+
1
t
)(s+t)=
1
4
(
4t
s
+
s
t
+5)≥
9
4

所以
x2
x+2
+
y2
y+1
1
4

故答案为
1
4
举一反三
已知
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,xy≠0)
,则
a2
x2
+
b2
y2
的最小值为______.
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已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为______.
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已知x>-1,求x取值为多少时函数f(x)=x+
1
x+1
取得最小值.
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x>0,y>0,
2
x
+
8
y
=1
,则x+y有(  )
A.最大值18B.最小值18C.最小值
1
64
D.最大值
1
2
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已知0<x<
1
4
则x(1-4x)取最大值时x的值是______.
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