设a，b，c为正实数，求证：1a3+1b3+1c3+3abc≥6，并指出等号成立的条件．

题型：不详难度：来源：

设a，b，c为正实数，求证：

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+3abc≥6，并指出等号成立的条件．

答案

证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥3

3	1 a3 • 1 b3 • 1 c3

，
即 

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥

3

abc

，所以

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+3abc≥

3

abc

+3abc，
而 

3

abc

+3abc≥2

3 abc •3abc

=6，所以 

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+3abc≥6
等号成立的条件为

1 a = 1 b = 1 c 3 abc =3abc

，得a=b=c=1．