已知函数f(x)=x+ax的定义域为(0,+∞),a>0且当x=1时取得最小值,设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、
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已知函数f(x)=x+ax的定义域为(0,+∞),a>0且当x=1时取得最小值,设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=x+
a
x
的定义域为(0,+∞),a>0且当x=1时取得最小值,设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求a的值;
(2)问:PM•PN是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,请说明理由;
(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
答案
(1)∵x>0,a>0
∴
f(x)=x+
a
x
≥2
a
,当且仅当
x=
a
x
即
x=
a
时,f(x)取得最小值,
∴
a
=1∴a=1
--------------------(5分)
(2)设
p(t,t+
1
t
)(t>0)
,
则:
PM=
1
t
2
=
1
2
t
,PN=t,
∴PM•
PN=
2
2
(定值)--(10分)
(3)OM=
2t+
1
t
2
∴
S
OMPN
=
S
△OPM
+
S
△OPN
=
1
2
•
1
2
t
•
2t+
1
t
2
+
1
2
t•(t+
1
t
)=1+
1
2
(
1
2
t
2
+
t
2
)≥
1+
1
2
×2
1
2
=1+
2
2
(当
t=
4
1
2
时取等号)
∴四边形OMPN面积最小值为
1+
2
2
.----------------------------------(16分)
举一反三
若正实数a,b,c满足:3a-2b+c=0,则
ac
b
的最大值为______.
题型:甘谷县模拟
难度:
|
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设0<x<1,a、b为正常数,则
a
2
x
+
b
2
1-x
的最小值为( )
A.4ab
B.2(a
2
+b
2
)
C.(a+b)
2
D.(a-b)
2
题型:不详
难度:
|
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已知xy>0,则
|x+
1
2y
|+|y+
1
2x
|
的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知
0<x<
1
3
,则x(1-3x)取最大值时x的值是______.
题型:不详
难度:
|
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y=
x
2
+5
x
2
+4
的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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