试证:不论正数a,b,c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N且a,b,c互不相等时,都有an+cn>2bn.(n∈N).

试证:不论正数a,b,c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N且a,b,c互不相等时,都有an+cn>2bn.(n∈N).

题型:不详难度:来源:
试证:不论正数a,b,c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N且a,b,c互不相等时,都有an+cn>2bn.(n∈N).
答案
证明 (1)设a、b、c为等比数列,a=
b
q
,c=bq(q>0且q≠1)
∴an+cn=
bn
qn
+bnqn=bn
1
qn
+qn)>2bn

(2)设a、b、c为等差数列,
则2b=a+c猜想
an+cn
2
(
a+c
2
)
n
(n≥2且n∈N*
下面用数学归纳法证明
①当n=2时,由2(a2+c2)>(a+c)2,∴
a2+c2
2
(
a+c
2
)
2

②设n=k时成立,即
ak+ck
2
(
a+c
2
)
k

则当n=k+1时,
ak+1+ck+1
2
=
1
4
(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)>
1
4
(ak+1+ck+1+ak•c+ck•a)=
1
4
(ak+ck)(a+c)
>(
a+b
2
k•(
a+b
2
)=(
a+b
2
k+1
也就是说,等式对n=k+1也成立
由①②知,an+cn>2bn对一切自然数n均成立
举一反三
已知函数f(x)=x+
a
x
的定义域为(0,+∞),a>0且当x=1时取得最小值,设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求a的值;
(2)问:PM•PN是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,请说明理由;
(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
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若正实数a,b,c满足:3a-2b+c=0,则


ac
b
的最大值为______.
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设0<x<1,a、b为正常数,则
a2
x
+
b2
1-x
的最小值为(  )
A.4abB.2(a2+b2C.(a+b)2D.(a-b)2
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已知xy>0,则|x+
1
2y
|+|y+
1
2x
|
的最小值为______.
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已知0<x<
1
3
,则x(1-3x)取最大值时x的值是______.
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