例1.a、b、c≥0,求证a3+b3+c3≥3abc.
题型:不详难度:来源:
例1.a、b、c≥0,求证a3+b3+c3≥3abc. |
答案
证明:∵a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab (当且仅当a=b时“=”成立) b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc (当且仅当b=c时“=”成立) c3+a3=(a+c)(c2+a2-ca)≥(c+a)ca (当且仅当c=a时“=”成立) ∴2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2 =b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2) ≥2abc+2abc+2abc=6abc.(当且仅当a=b=c时“=”成立) ∴a3+b3+c3≥3abc. |
举一反三
若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式中恒成立的是( ) |
设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有( )A.1≤ab≤ | B.<ab<1 | C.ab<<1 | D.ab<1< |
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某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过a米,房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用. (1)把房屋总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域. (2)当若a≥4时,多少时,总造价最底?最低总造价是多少? |
面积为S的一切矩形中,其周长最小的矩形的边长是______. |
设x,y满足约束条件,若目标函数z=x+y(a>0,b>0)的最大值为2,则a+b的最小值为( ) |
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