在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如下图所示), (Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如下图所示), (Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨
题型:广东省高考真题
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来源:
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x
2
上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如下图所示),
(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由。
答案
解:(Ⅰ)设△AOB的重心为G(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
, …(1)
∵OA⊥OB,
∴
,……(2)
又点A,B在抛物线上,有
,
代入(2)化简得
,
∴
,
所以重心为G的轨迹方程为
;
(Ⅱ)
,
由(Ⅰ)得
,
当且仅当
时,等号成立,
所以△AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1。
举一反三
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知b
2
+c
2
=a
2
+bc,求:
(Ⅰ)A的大小;
(Ⅱ)若a=2,求△ABC面积的最大值。
题型:0101 月考题
难度:
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过点Q(-2,
)作圆C:x
2
+y
2
=r
2
(r>0)的切线,切点为D,且QD=4,
(1)求r的值;
(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y 轴于点B,设
,求
的最小值(O为坐标原点)。
题型:0101 月考题
难度:
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设a,b∈R,a
2
+2b
2
=6,则a+b的最小值是( )。
题型:0103 月考题
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如果log
3
m+log
3
n=4,那么m+n的最小值是
[ ]
A.4
B.4
C.9
D.18
题型:0115 期中题
难度:
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已知a,b为正实数,且3a+2b=2,则ab的最大值为( )。
题型:0115 期中题
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