已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过A(t1,y1)、B(t2,y2)两点,且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.(1)证明y1=-a或y2=-

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过A(t1,y1)、B(t2,y2)两点,且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.(1)证明y1=-a或y2=-

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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过A(t1,y1)、B(t2,y2)两点,且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.
(1)证明y1=-a或y2=-a;
(2)证明函数f(x)的图象必与x轴有两个交点;
(3)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x>m或x<n,n<m<0},解关于x的不等式cx2-bx+a>0.
答案
(1)证明:∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,
∴(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a.
(2)证明:当a>0时,二次函数f(x)的图象开口向上,图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且小于零,
∴图象与x轴有两个交点.
当a<0时,二次函数f(x)的图象开口向下,图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且大于零,
∴图象与x轴有两个交点.
故二次函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点.
(3)∵ax2+bx+c>0的解集为{x|x>m或x<n,n<m<0}.
根据一元二次不等式大于0取两边,从而可判定a>0,
并且可得ax2+bx+c=0的两根为m,n,





m+n=-
b
a
m•n=
c
a
>0
,∴a>0

m+n
m•n
=
-
b
a
a
c
=-
b
c

而cx2-bx+a>0⇔x2-
b
c
x+
a
c
>0⇔x2+(
m+n
mn
)x+
1
mn
>0⇔(x+
1
m
)(x+
1
n
)>0,
又∵n<m<0,∴-
1
n
<-
1
m
,∴x>-
1
m
或x<-
1
n

故不等式cx2-bx+a>0的解集为{x|x>-
1
m
或x<-
1
n
}.
举一反三
已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},
(1)求a,b;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
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若不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立,求x的取值范围.
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(Ⅰ)当a=2时,解关于x的不等式:(x+a)(x-2a+1)<0
(Ⅱ)解关于x的不等式:(x-1)(x-2a+1)<0.
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若不等式x2+px+q<0的解集为{x|-
1
2
<x<
1
3
},求关于x的不等式qx2+px+1>0的解集.
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已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a、b的值;
(2)解不等式ax2-(a+b)x+b<0.
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