已知a和b是任意非零实数．（1）求|2a+b|+|2a-b||a|的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求

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已知a和b是任意非零实数．
（1）求

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围．

答案

（1）∵

|2a+b|+|2a-b|

|a|

≥

|2a+b+2a-b|

|a|

|4a|

|a|

=4，
故

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值为4．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，
即|2+x|+|2-x|≤

|2a+b|+|2a-b|

|a|

恒成立，故|2+x|+|2-x|不大于

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值．（4分）
由（1）可知，

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a-b）≥0时取等号，
∴

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值等于4．（8分）
∴x的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集．
解不等式得-2≤x≤2，故实数x的取值范围为[-2，2]．（10分）

举一反三

若关于x的不等式|x|+|x-1|＜a（a∈R）的解集为∅，则a的取值范围是 ______．

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选做题（考生注意：请在（1）（2）两题中，任选做一题作答，若多做，则按（1）题计分）
（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρsin(θ+

)=2被圆ρ=4截得的弦长为______．
（2）（不等式选讲选做题）若不等式|x-2|+|x+3|＜a的解集为∅，则实数a的取值范围为______．

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选修4-5《不等式选讲》．
已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），使

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．

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若关于x的不等式|x+1|-|x-2|＜a²-4a有实数解，则实数a的取值范围为（　　）

A．（-∞，1）∪（3，+∞）	B．（1，3）
C．（-∞，-3）∪（-1，+∞）	D．（-3，-1）

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不等式|2-x|+|x+1|≤a对任意x∈[0，5]恒成立的实数a的取值范围是______．

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