变量x、y满足x-4y+3≤03x+5y-25≤0x≥1,(1)求z=2x+y的最大值;(2)设z=yx,求z的最小值;(3)设z=x2+y2,求z的取值范围;

变量x、y满足x-4y+3≤03x+5y-25≤0x≥1,(1)求z=2x+y的最大值;(2)设z=yx,求z的最小值;(3)设z=x2+y2,求z的取值范围;

题型:不详难度:来源:
变量x、y满足





x-4y+3≤0
3x+5y-25≤0
x≥1

(1)求z=2x+y的最大值;
(2)设z=
y
x
,求z的最小值;
(3)设z=x2+y2,求z的取值范围;
(4 )设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.
答案

魔方格
由约束条件





x-4y+3≤0
3x+5y-25≤0
x≥1

作出(x,y)的可行域如图所示.





x=1
3x+5y-25=0
,解得A(1,
22
5
).





x=1
x-4y+3=0
,解得C(1,1).





3x+5y-25=0
x-4y+3=0
,解得B(5,2).   ….(4分)
(1)zmax=12….(7分)
(2)∵z=
y
x

∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.
观察图形可知zmin=kOB=
2
5
.….(10分)
(3)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,
dmin=OC=,dmax=OB=.∴2≤z≤29…..(13分)
(4)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,dmin=1-(-3)=4,dmax═8.
∴16≤z≤64…(16分)
举一反三
满足线性约束条件的目标函数z=x+y的最大值是_____.
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设实数x、y满足条件





x+y≤3
x-y≥1
y≥0
则点(x,y)构成的平面区域面积为______.
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若变量x,y满足条件





3x-y≤0
x-3y+8≥0
,则z=x+y的最大值为______.
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若x≥0,y≥0,2x+3y≤100,2x+y≤60,则z=6x+4y的最大值是 ______.
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设x,y满足





2x+y≥4
x-y≥-1
x-2y≤2
,则z=x+y的最小值为______.
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