试题分析:(1)对于研究非常规的初等函数的最值问题,往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性,利用单调性求函数在某个区间上的最值;(2)恒成立问题,一般都需要将常数和变量分离开来(分离常数法)转化为最值问题处理;(3)证明不等式恒成立问题,往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明,还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的,然后再证. 试题解析:⑴ ,当,,单调递减, 当,,单调递增. 1分 (由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同,故对经行分类讨论.) ① ,t无解; 2分 ② ,即时, 3分 ③ ,即时,在上单调递增,; 所以 5分 由题可知:,则.因对于,恒成立,故, 设,则. 单调递增,单调递减. 所以,即. 问题等价于证明(为了利用第(1)小问结论,并考虑到作差做函数证明不方便,下证的最值与最值的关系.) 由(1)可知在的最小值是,当且仅当时取到. 设,则,易得,当且仅当时取到. 从而对于一切,都有恒成立. |