已知函数,.(1)当时,求的最小值;(2)若,求a的取值范围.

已知函数,.(1)当时,求的最小值;(2)若,求a的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)若,求a的取值范围.
答案
(1)0;(2)(-∞,0).
解析

试题分析:本题主要考查导数的计算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对求导,利用“单调递增,单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最小值;第二问,先将已知不等式进行转化,将所求的参数分离出来,构造新的函数,利用“单调递增,单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最值,代入到所转化的式子中即可.
试题解析:(1)当a=1时,f(x)=x2-lnxx
x∈(0,1)时,f¢(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f¢(x)>0.
所以f(x)的最小值为f(1)=0.          5分
(2)f(x)>x,即f(x)-xx2-lnx-(a+1)x>0.
由于x>0,所以f(x)>x等价于.      7分
,则
x∈(0,1)时,g¢(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g¢(x)>0.
g(x)有最小值g(1)=1.
a+1<1,a的取值范围是(-∞,0).       12分
举一反三
若存在过点的直线与曲线都相切,求的值
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如图,是函数图像上一点,曲线在点处的切线交轴于点轴,垂足为. 若的面积为,则 满足关系式( )
A.B.C.D.

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已知函数
(1)若,求曲线处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.
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曲线与y轴交点处切线的倾斜角大小为        .
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设函数的定义域是,其中常数.
(1)若,求的过原点的切线方程.
(2)当时,求最大实数,使不等式恒成立.
(3)证明当时,对任何,有.
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