已知函数,.(1)当时,求的最小值;(2)若,求a的取值范围.
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已知函数,.(1)当时,求的最小值;(2)若,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
,
.
(1)当
时,求
的最小值;
(2)若
,求a的取值范围.
答案
(1)0;(2)(-∞,0).
解析
试题分析:本题主要考查导数的计算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对
求导,利用“
单调递增,
单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最小值;第二问,先将已知不等式进行转化,将所求的参数分离出来,构造新的函数,利用“
单调递增,
单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最值,代入到所转化的式子中即可.
试题解析:(1)当
a
=1时,
f
(
x
)=
x
2
-ln
x
-
x
,
.
当
x
∈(0,1)时,
f
¢(
x
)<0;当
x
∈(1,+∞)时,
f
¢(
x
)>0.
所以
f
(
x
)的最小值为
f
(1)=0. 5分
(2)
f
(
x
)>
x
,即
f
(
x
)-
x
=
x
2
-ln
x
-(
a
+1)
x
>0.
由于
x
>0,所以
f
(
x
)>
x
等价于
. 7分
令
,则
.
当
x
∈(0,1)时,
g
¢(
x
)<0;当
x
∈(1,+∞)时,
g
¢(
x
)>0.
g
(
x
)有最小值
g
(1)=1.
故
a
+1<1,
a
的取值范围是(-∞,0). 12分
举一反三
若存在过点
的直线与曲线
和
都相切,求
的值
题型:不详
难度:
|
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如图,
是函数
图像上一点,曲线
在点
处的切线交
轴于点
,
轴,垂足为
. 若
的面积为
,则
与
满足关系式( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(1)若
,求曲线
在
处的切线方程;
(2)求
的单调区间;
(3)设
,若对任意
,均存在
,使得
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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曲线
与y轴交点处切线的倾斜角大小为
.
题型:不详
难度:
|
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设函数
的定义域是
,其中常数
.
(1)若
,求
的过原点的切线方程.
(2)当
时,求最大实数
,使不等式
对
恒成立.
(3)证明当
时,对任何
,有
.
题型:不详
难度:
|
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